集合論における整数

P=NP？問題にはあまり関係ないですが、どうしてもカントールの集合論における整数の概念を説明しておきたいのです。というのは、この集合論こそが現代数学の基礎の基礎と考えられるからです。

一般に、カントールの集合論で表せる整数とはこのようになります。

（｛｝は集合を表わす記号、φは空すなわちなにもないという記号です。）

０＝φ、１＝｛０｝、２＝｛１，０｝、３＝｛２，１，０｝、･･････、ω

ここでωは整数の無限大を表わしています。

ちなみに、

０＝φですから１＝｛φ｝、

かつ、２＝｛１，０｝ですから、２＝｛｛φ｝,φ｝

かつ、３＝｛２，１，０｝なので、

３＝｛｛１，０｝，｛０｝，０｝＝｛｛｛φ｝,φ｝，｛φ｝,φ｝

というように、整数は一つ大きくなるとそれより小さい整数を包含する形で表わされます。

ところで、整数の無限大ωはこのように表わされるのですが、実数の無限は整数の無限と数の面では同じだと思われますか？当然、実数の無限の方が、整数の無限より集合としては集合の要素（元という）の数は多いですよね。これを、濃度という考え方で実数の無限の濃度の方が整数の無限の濃度より高いという言い方をします。

このことは、整数と実数と一対一の対応をさせればすぐ分かることです。

（実は、実数は区別できる確率は０つまり、実数は実際は区別できないという定理があるので、この例は正しくはないのですが、分かりやすく説明するためにあえて、整数と実数の無限の濃度というものを考えを比較してみました）

（参考：「集合とは何か」竹内外史　講談社ブルーバックス）