クラスについて

クラスについて少しだけ話してみたいと思います。というのは、PとかNPとかいうのはクラスの名前だからです。クラス、という数学の概念は、ごく簡単で、集合の集合という意味で現在は一般に使われています。

その前に部分集合について説明しないといけません。整数の無限ωはその中にその前のすべての実数の集合を含んでいるのでした。その一部、たとえば、｛３，４｝はωの部分集合になると思って良いでしょう。

実際は、整数の部分集合すべてを４まで挙げていく、という作業をやると大変良い勉強になるのですが、ここではあまり踏み込まず、０，１，２，３の例を挙げましょう。

０はすなわち空集合φですから、当然部分集合はありません。

１は空集合は部分集合にあたらないので、１自体が１の部分集合です。つまり、１＝｛φ｝

２の部分集合は、１と２が部分集合になります。つまり｛１｝，２＝｛１，０｝

｛｝がついてるのは、部分集合も集合という印ですね

３の部分集合も同様にして、｛｛１｝｝，｛２｝，｛０，２｝、｛１，２｝，３

ちなみに３の部分集合の一つ｛｛１｝｝だけが特別じゃなく、これは、３の部分集合は２の部分集合を含んでいる、ということの表れです。だから、｛２｝も同じ意味です。

さて、ωの部分集合全体の濃度はωの濃度より高いのは一対一対応して数えてみればすぐに分かりますね。

かなり、回り道をしましたが、クラスの話をしましょう。ωの部分集合の中で偶数のみで成り立っている集合を集めてこれを集合とします。集合の集合となるので、これを、単なる集合と区別するために、これをクラス、と言い換えます。ちなみに、クラスの集合もクラスです。